奇米影视盒首页 《我的宇宙》搞数学接洽，估算欧拉数舛讹仅0.00766%！数学博士的跨界花活儿火了

在《我的宇宙》里估算欧拉数 e奇米影视盒首页，舛讹仅约 0.00766%！

两位数学博士"跨界"整了个大大大活儿——

用《我的宇宙》搞数学接洽，通过游戏机制顺利估算各式数学常数的值。

√ 2、π、欧拉数 e、阿佩里常数 ζ ( 3 ) ，难度逐级递加，但齐是他们的试验对象。

关于阿佩里常数 ζ ( 3 ) ，用这两位作家的话说，一般东说念主可能见齐没见过，但也能用《我的宇宙》肖似算出值来，而且舛讹仅约为 0.4%。

试验衔尾游戏机制用到了各式才气，比如肖似 π 值时，使用了蒙特卡洛积分法，借助游戏中的僵尸疣猪兽杀死史莱姆来完成。

两位作家鉴别是来自自霍林斯大学、好意思国罗诺克大学的助理阐扬。

论文中，他们不仅先容了每个常数的数学历史布景，详备阐述了如安在《我的宇宙》中想象试验来肖似诡计这些值，以致还提倡了具体的改造建议，为大伙儿留住了"课后功课"来挑战。

作家强调这些试验的策划不是为了取得最精准的肖似值，而是为了激勉公共从这项接洽中找到灵感，用真谛的口头探讨复杂的数知识题。

但愿本文能够展示一小部分数学与《我的宇宙》衔尾的可能性，并激励东说念主们以真谛和悠悠忘返的口头探索复杂的数学主题。天然咱们聘任使用《我的宇宙》来肖似毛病数，但咱们坚信还有很多其它环境符合进行此类试验。

是以，究竟是何如作念到的？

在估算数学常数前，先来淡淡了解一下《我的宇宙》中将被用作"试验说念具"的材料。

漏斗（Hopper）：

若是一个玩家 / 动物 / 怪物站在漏斗上方被杀死，那么漏斗会采集该生物掉落的物品。因此，漏斗不错用来记载生物被杀死的位置。

除采集物品外，漏斗还具有另一个特色，它们不错以每秒 2.5 个物品的恒定速率开释物品。漏斗开释物品的能力不错开启或关闭。

由于漏斗以恒定速率开释物品，它们不错用作计时器。举例，若是一个漏斗开释了 25 个物品，那么咱们知说念漏斗开释物品的时间在 10 秒到 10.4 秒之间。

天然《我的宇宙》中有制作更精准计时器的才气，但关于该试验来说，漏斗计时器够用。

投掷器（dropper）：

投掷器是一个不错投掷物品的方块，可同期容纳 9 种不同物品。

当被激活时，投掷器会就地聘任其中的一个物品进行投掷。因此，投掷器不错用作就地化器用。举例，若是投掷器中有 5 种不同的物品，那么特定物品被投掷出去的概率是 1/5。

侦测器（observer）：

侦测器是一个方块更新检测器，不错检测到它濒临的方块情景是否发生变化。

一个方块可能发生的变化包括作物助长、冰溶解、火势彭胀……这些变化是就地发生的，因此不错通过侦测器检测这些变化来创建一个就地化器用。

接下来就不错玩"数学游戏"啦～

PS：题目难度由简入难

√ 2

早在 2000 多年前，毕达哥拉斯派别用反证法证明了√ 2 不可写稿两整数之比，√ 2 也成为了东说念主们发现的第一个毛病数。

当今，√ 2 亦然该接洽第一个要用《我的宇宙》估算的数学常数。

才气期骗了45 ° -45 ° -90 ° 直角三角形的边长比是 1 : 1 : √ 2。

这样的三角形在《我的宇宙》中很容易制作，因为《我的宇宙》中，放手任何方块齐必须放在网格上。

要肖似诡计√ 2 的值，不错浮浅地鉴别测量玩家以恒定速率沿着一条直角边和斜边行走所需的时间，斜边长度是直角边的√ 2 倍，行走运间比率也应该肖似为√ 2。

如前所述，漏斗以恒定速率开释物品，不错诡计玩家行走本事所开释的物品数目，以此来计时。

试验中，沿着斜边行走完，漏斗开释了 57 个物品，沿着一条直角边行走完，漏斗开释了 41 个物品。

是以得出：

√ 2 保留到少许点后四位是√ 2=1.4142，是以肖似值舛讹为 1.70%。

作家还暗意这种才气还不错改造：

一个很显明的改造才气是构建一个更大的三角形，肖似值将更准确。或者不错让行走速率变慢，玩家不错在开赴前喝下迟缓药水。

依此类推不错估算√ 5 的值，但√ 7 不行，7 不可暗意为两个实足日常数的和。

这引出了一个问题：哪些数字不错暗意为两个日常数的和？

作家以为关于几何学憨厚来说，不错使用这样的试验向几何学生先容基本的数论。

下一个要估算的数学常数是——

1768 年约翰 · 海因里希 · 朗伯（Johann Heinrich Lambert）证明 π 是毛病数。1882 年费迪南德 · 冯 · 林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）初次证明 π 是杰出数。

希腊数学家阿基米德通过在圆表里构建正多边形，为 π 的值找到了高下界。当使用 96 边形时，阿基米德发现 3.1408

诡计机的发展带来了诡计 π 值的不同才气。蒙特卡洛才气即是其中一类，通过评估屡次就地阅览的服从来肖似值。

蒙特卡洛才气中的一种，蒙特卡洛积分，通过画图一个内切于正方形的单元圆，然后在正方形内均匀就地地散布点。

由于圆的面积是 π，正方形的面积是 4，圆内点的数目与总点数的比将大致等于 π/4。

《我的宇宙》中不异不错重现蒙特卡洛积分法，肖似诡计 π 值。

《我的宇宙》中的每个方块齐放手在网格上，是以无法制作一个圆善的圆形。然则，网上有很多器用不错在《我的宇宙》中肖似礼貌一个圆的范围。

作家使用了一个《我的宇宙》圆形生成器，作念了一个半径为 11 的肖似圆形：

接下来的问题是找一种在《我的宇宙》中生成立地点的才气。

为此，作家期骗了一种叫作念"史莱姆"的生物的活动。使用史莱姆是因为与其他生物不同奇米影视盒首页，当隔邻莫得玩家时史莱姆会延续移动，而且它们会就地改造场所。

而大浩荡其他生物有向东南边向行走的倾向，是以它们会集合在正方形的东南角。

接着述者们让另一种生物——僵尸疣猪兽（zoglin），杀死史莱姆，使用漏斗追踪史莱姆是否在圆内被杀死。

在试验中，共有 619 个史莱姆被杀死，其中 508 个是在圆内被杀死的。

是以得到了肖似值：

肖似舛讹为 4.49%。

因为蒙特卡洛才气频繁敛迹较慢，是以作家暗意对这个相对较大的舛讹并不诧异。

若是童鞋们我方思尝试的话，改造才气：增大圆的大小和加多被杀死的史莱姆数目。

在这种蒙特卡洛才气中，圆的大小频繁不会影响肖似值的准确性，但由于在《我的宇宙》中无法制作圆善的圆形，增大圆的大小将提升肖似值的准确性。

不异，用来肖似诡计 π 值的才气，也不错用来肖似诡计其它定积分的值。

举例，假定你思使用《我的宇宙》进行蒙特卡洛积分以肖似诡计积分：

通过作家创建的 Desmos 页面的匡助，不错画图出 y=f ( x ) 弧线与 x 轴之间的区域。

回思一下，定积分∫ₐᵇ f ( x )   dx 的值是由弧线 y=f ( x ) 与 x 轴在 x=a 到 x=b 之间围成的区域的净面积。

因此，在《我的宇宙》中肖似诡计定积分的一个才气是，当先找出在 x 轴上方区域和 x 轴下方区域死亡的史莱姆数目之间的相反。

将这个相反乘以总面积再除以死亡的史莱姆总和，就不错得到定积分值的肖似值。在《我的宇宙》中，不错用底下这个函数肖似弧线 y=f ( x ) ：

这里⌊ x ⌉将 x 四舍五入到最近的整数。

作家们暗意这可能是一个真谛的试验，适用于正在学习积分微积分的学生。

欧拉数 e

接下来延续上难度——欧拉数 e，欧拉数 e 的值保留到少许点后五位是e=2.71828。

公共可能铭刻 e 是天然对数的底数，亦然复合利息公式的一部分。它被界说为以下极限：

天然以 e 为底的对数诡计早在 1618 年就如故运行，但那时并莫得使用 e 这个象征。

所谓的 e "发现"最早是由雅各布 · 伯努利（Jacob Bernoulli）在1638 年接洽连气儿复利时未必发得出的，他尝试诡计上述极限，期骗二项式定理证明了 e 的值在 2 和 3 之间，但那时 e 还莫得一个具体的名字或更精准的肖似值。

欧拉（Euler）最终将对数与 e 这个数关联起来，他诡计了上述极限，并用象征 e 暗意其值，1737 年证明了 e 是毛病数。到了 1873 年，查尔斯 · 埃尔米特（Charles Hermite）进一步证明了 e 是杰出数。

话说回归，在《我的宇宙》中肖似 e 的值，要了解欧拉 1748 年提倡的 e 的抒发式：

当今琢磨函数f ( x ) =e ᕽ，这个函数不错用它的麦克劳林级数暗意为：

注目，当 x= − 1 时，得到到 1/e 的交错级数伸开式：

咱们将看到，这个抒发式的第 n 个部分和是一个特定计数问题的解。

当今形色这个问题，令：

界说： [ n ] 的陈列是 [ n ] 中元素的一个详情礼貌的陈列。

[ n ] 的陈列不错看作数字 1 到 n 的线性排序。举例， [ 3 ] 的陈列包括 123、132、213、231、312 和 321。 [ n ] 的陈列总和是：

这个乘积传统上用 n! 暗意。

界说：一个错位陈列是莫得固定点的 [ n ] 的陈列。

换句话说，若是 ω 是 [ n ] 的一个陈列，那么那么当且仅当

ω 是一个错位陈列。

举例，琢磨 [ 6 ] 的以下陈列：ω =324165。这不是一个错位陈列，因为数字 2 在第二个位置，即 ω ₂ =2。

然则，陈列 ν =431562 是一个错位陈列，因为：

咱们用 D ( n ) 暗意 [ n ] 的错位陈列数，不错证明：

比拟等式（2）和（3），不错看到

给出了等式（2）的第 n 个部分和。

因此，不错看到 1/e 肖似等于就地陈列是错位陈列的概率。非凡地：

了解了这些事后，在《我的宇宙》中何如肖似诡计？

两位作家制造了一台机器，这台机器能：

生成一个陈列；

搜检该陈列是否为错排。

一朝机器被制造出来，就让它运行屡次，生成填塞大的样本。

如前所述，投掷器不错用作就地器。由于投掷器最多不错容纳 9 种不同的物品，是以不错期骗其就地弹出机制来创建 [ 9 ] 的陈列。

投掷器中的每个格子对应 [ 9 ] 中的一个数字。弹出的物品的礼貌不错被视为一个陈列。而且在《我的宇宙》中是有才气不错自动搜检投掷器弹出了哪个物品。

具体何如操作这里就未几赘述了。

因此，不错制造一台机器来搜检所生成的陈列是否为错排。这是通过搜检与某个数字对应的格子是否在阿谁位置被弹出来收场的。

若是 9 个格子中的每一个齐被弹出到了与它们编号不合应的位置，那么这个陈列即是一个错排。

作家在试验生成的陈列中，错排比例简短是 1/e。也即是说：

共生成了 647 个陈列，其中 238 个是错排。是以 e 的肖似值：

肖似舛讹简短是 0.00766%，准确度非凡高了。

作家暗意若是让机器无穷运行，1/e 的肖似舛讹将小于：

两位作家不异再次荧惑公共我方尝试一下，粗略还能搞个新界说：

若是一个陈列 ω 的条件瓜代上涨和着落，那么称这个陈列为交错陈列，即 ω 1ω 3

这意味着你不错使用《我的宇宙》来肖似诡计sec ( 1 ) +tan ( 1 ) 的值。

交代完"课后功课"，两位助理阐扬还有益留住这样一句话：

若是你完成了这个试验，请关联作家并告诉咱们你的服从。

还没完，还有一个数学常数，而且可能是你往日未始见过的。

用作家的话说，即使你碰到过它，可能也不知说念它有一个名字——

两性

阿佩里常数 ζ ( 3 )

ζ ( 3 ) ，被界说为正立方数倒数的和，即：

之是以被记为ζ ( 3 ) ，是因为它是在 s=3 时黎曼 ζ 函数（Riemann zeta function）的值。

一般来说，黎曼 ζ 函数界说为：

欧拉证明了黎曼 ζ 函数的以下乘积公式：

阿佩里常数的值保留到少许点后五位是 ζ ( 3 ) = 1.20205。

1979 年，罗杰 · 阿佩里（Roger Ap é ry）证明了 ζ ( 3 ) 是毛病数。这个数字是否是杰出数咫尺仍然是一个未处置的问题。

阿佩里常数有各式级数和积分的暗意花式。其中一些暗意花式非凡复杂。

然则，作家暗意阿佩里常数的值不错通过概率才气详情，阿佩里常数的倒数是就地收用的纵情三个正整数互质的概率。

为什么：

要使三个正整数互质，就不可有任何质数同期整除这三个数。举例，6、9、21 不是互质的，因为它们齐不错被 3 整除。关于一个质数 p，p 整除一个就地整数的概率是 1/p。因此，p 同期整除这三个数字的概率是 1/p ³。

这意味着至少有一个数字不被 p 整除的概率是：

让 P ₃暗意三个就地采选的正整数互质的概率，由此得出：

比拟等式（4）和（5），不错看出：

OK，那在《我的宇宙》中何如肖似诡计阿佩里常数。

作家们反复生成了三个就地数的谐和，称为三元组，并手动搜检这些数字是否互质。互质的三元组的比例将简短等于 ζ ( 3 ) 的倒数。

如前文所述，《我的宇宙》中侦测器能够检测到它濒临的方块情景的变化。

而《我的宇宙》中很多方块会在就地拒绝改造情景。频繁，每 0.05 秒，游戏就地聘任一个 16 × 16 × 16 的立方体中的 3 个方块来改造情景。若是采选的方块有改造情景的能力，它们将以一定的预定概率改造情景。

为了生成一个就地数三元组，作家安排了三个侦测器，每个侦测器濒临我方的竹子植物，还使用了一个漏斗计时器来记载每个竹子植物改造情景所需的时间。

belike：

需要注目的是，生成的就地数并不除名均匀散布，而是除名负二项散布。

在试验中，作家采集了 70 个就地数三元组，发现 58 个三元组是互质的。

于是得到 ζ ( 3 ) 的肖似值：

肖似舛讹约为 0.4%。

作家补充说念，这种才气生成的数字鸿沟在最小 3 和最大 838 之间，在获取世俗万般的数字方面比预期作念得更好。

最自后看"课后功课"。

回思一下，三个就地收用的正整数互质的概率是 ζ ( 3 ) ⁻ ¹。

一般来说，Pm，即就地均匀聘任的 m 个正整数互质的概率，是 ζ ( m ) ⁻ ¹。

这意味着你不错使用上述才气来肖似各式 m 值的 ζ ( m ) 。非凡是，你不错肖似 π 的任何偶数次幂的值，因为 ζ ( 2k ) 老是 π 的 2k 次方的有理倍数。

举例，由于 ζ ( 2 ) = π² /6，因此：

这意味着不错通过生成一双数字并搜检它们是否互质来肖似 π² 的值。

关于那些寻求挑战的东说念主，还可尝试通过在《我的宇宙》中制造一个机器来自动化搜检流程，该机器不错找到两个正整数的最大契约数。若是最大契约数是 1，那么这些数字即是互质的。

作家暗意：

制造这台机器可能会很遏止，但并非不可能在《我的宇宙》中完成。

好嘛，有哪位一又友挑战一下下～

论文贯穿：https://arxiv.org/abs/2411.18464奇米影视盒首页